حساب التباديل بالطريقة النسبية

الملخص

      إن استخراج التباديل بالطريقة التقليدية وباستخدام الحاسبة  لمجموعة مكونة من n  عنصر تعتمد على تحويل الأرقام بالنظام العشري من 1 إلى  لنظام الأرقام النوني ( للأساس n  ) أ ي جميع المراتب تأخذ الأرقام 0 , 1 , 2 , ... , n – 1 ويتكون الرقم من n مرتبة . عند كل زيادة لرقم واحد نجري عملية مقارنة بين أرقام المراتب فإذا كانت جميع الأرقام مختلفة يتم الأخذ بهذا الرقم على انهُ عنصر من عناصر التباديل وبخلاف ذلك تكون المقارنة فاشلة وهذا يعني وجوب تحويل كامل الرقم من النظام العشري إلى النظام النوني وبناءً على ذلك سوف يتم استخدام الجملة الشرطية  مرة . كذلك لحساب إشارة التباديل يتطلب نفس العدد من الجمل الشرطية مما يضاعف زمن تنفيذ البرنامج .

            أما بطريقة البحث نستطيع استخراج التباديل لنفس المجموعة بزمن يصل إلى ‰ 2 عندما  من زمن البرنامج التقليدي وتقل هذهِ النسبة بزيادة n وذلك لقلة استخدام الجمل الشرطية لتصل إلى  مرة منها   مرة تكون المقارنات فاشلة .  والطريقة تتلخص بتحويل الأرقام العشرية من 1 إلى n ! - 1 من النظام العشري إلى نظام المفكوك حيث تكون المرتبة الأولى للأساس 2 و المرتبة الثانية للأساس 3 وصولاً لأخر مرتبة للأساس n وهذا الرقم يتكون من n - 1 مرتبة . وهذهِ الطريقة لا تتطلب تحويل الرقم بشكل كامل إلى نظام المفكوك بل تتوقف عملية التحويل عند ظهور أول رقم اكبر من الصفر في المراتب الدنيا للرقم بنظام المفكوك ويعتبر أساس هذهِ المرتبة وهو X الذي يرمز إلى رقم الموقع الذي ستبدأ فيهِ عملية الاستبدال . حيث سيتم استبدال العنصر بالموقع X مع العنصر بالموقع الأول ثم استبدال العنصر بالموقع X – 2  مع العنصر بالموقع الأول ثم استبدال العنصر بالـمـوقع X – 4  مع العنصر بالموقع الأول وصولاً لأدنى عنصر وان هذهِ الطرية لا تتطلب المقارنة بين عناصر المجموعة أو أي عملية مقارنة أخرى . وتسمى هذهِ التباديل بالتباديل النسبية لان عملية الاستبدال تجري على العنصر السابق وليس على العنصر الافتراضي الذي يكون فيهِ الترتيب بشكل متصاعد . أما حساب الإشارة تتم بمعادلة بسيطة وهي ضرب إشارة الترتيب السابق بـ  و g هي عدد حالات الاستبدال التي جرت للحصول على الترتيب الحالي.